신뢰성 모델링

Reliability Model

4. 시스템의 신뢰도

4.1 직렬결합모델의 신뢰도

• 조립품이나 컴포넌트·시스템 등을 구성하고 있는 여러 개의 소자나 부품 중 어느 하나라도
고장이 나게 되면 시스템 전체가 기능을 상실하게 되도록 소자나 부품이 결합된 것을
직렬 결합모델이라고 한다.

• [그림 6.3]와 같이 A, B 2개의 부품이 직렬결합모델로 되어 있으면 이 기기가 제대로 기능을
발휘하기 위해서는 A와 B 2개의 부품이 모두 정상작동하여야 한다.

• 전체의 고장률 \lambda_{s}는 각 부품의 고장밀도함수가 지수분포에 따르는 경우
$$$ R_{s}=e^{-(\lambda_{1}+ \lambda_{2}+ ...+ \lambda_{n})\,t}=e^{-\lambda_{s}\,t}$$$ 관계로부터 $$ \lambda_{s} $$ 는 다음의 식으로 구해짐.
$$$ \lambda_{s}=\sum_{i=1}^n \lambda_{i} = \lambda_{1}+ \lambda_{2}+ ...+ \lambda_{n} $$$

• 한편, 시스템의 신뢰성을 구할 때 중요한 것은 t 시간 후의 잔존확률인 신뢰성 R(t)로서,
다음의 근사식에 의해 R(t)의 값을 구하면 편리한다. \begin{align*} & R(t)=e^{-\lambda_{1}\,t}=e^{\frac{t}{MTBF}}=1-\frac{t}{MTBF} \\& 여기서,\quad t= 사용 시간,\quad \lambda=\frac{1}{MTBF} \end{align*}

• 또한, 고장률 && \lambda_{i} 인 부품이 여러 개 직렬연결된 시스템의 MTBF는 다음과 같이 구한다.
\begin{align*} & MTBF_{S}=\frac{1}{\lambda_{s}} \\& 여기서,\quad \lambda_{s}=\sum_{i=1}^n \lambda_{i} = \lambda_{1}+ \lambda_{2}+ ...+ \lambda_{n} $$$ \end{align*}

예제 6.8 각 부품의 평균고장률이 0.002(/시간)인 부품 7개가 동시에 모두 작동해야만
기능을 발휘하는 기기가 있다. 이 기기의 평균수명을 구하라.
기기의 평균수명 MTBF_S(혹은 θ_S)는 $$$ MTBF_{S}=\frac{1}{\lambda_{s}}=\frac{1}{0.014}=71.4(시간)$$$ 여기서, 부품 7개의 직렬결합모델이므로
$$$ \lambda_{s}=\lambda_{1}+ \lambda_{2}+ ...+ \lambda_{7}=7 \times 0.002=0.014(시간)$$$

4.2 병렬결합모델의 신뢰도

• [그림 6.4]는 부품을 여분으로 한 개 더 부가시켜서 부품 2개 중 어느 한 개만 작동하면
  전체가 기능을 발휘할 수 있도록 결합한 것임.
• 이와 같은 설계를 "병렬설계라 하며, 용장(冗長)설계, redundancy설계, 여유설계,"과잉설계라 하며,
병렬설계를 하면 전체의 신뢰도를 크게 증대시킬 수 있다.

6.4 병렬결합모델

• 병렬결합모델의 전체 시스템이 작동하는 전체 신뢰도 R_s는 다음과 같음 \begin{align*} & Rs=P_{r}(A \;or \; B)=P_{r}(A \cup B) \\& = P_{r}(A) P_{r}(B)- P_{r}(A)\cdot P_{r}(B) \\& = P_{A} + P_{B} - P_{A} \cdot P_{B} \end{align*}

• 또한, $$ R(t) F(t)=1 $$의 관계에서 다음 식으로 될수 있다. \begin{align*} & Rs=(1-P_{A}) (1-P_{B})-(1-P_{A})\cdot(1-P_{B}) \\& =(1-P_{A}P_{B})=(1-R_{A})\cdot(1-R_{B}) \end{align*}

• 일반적으로 n 개의 부품이 병렬결합시 시스템 전체의 신뢰도 $$ R_{s} $$ 는 다음과 같음. $$$ R_{s}= 1-\prod_{i=1}^n F_{i} = 1-\prod_{i=1}^n (1-R_{i}) $$$

• 병렬결합모델의 시스템 MTBF는 식 (6.61)에서 $$$ R(t)= e^{-\lambda t} \; , \; R_{1}(t)= e^{-\lambda_{1} t}\; , \; R_{2}(t)= e^{-\lambda_{2} t} $$$

의 지수분포를 따를 때, 이것으로 대치하고 양변을 적분하여 MTBF를 구한다. \begin{align*} & \int_{0}^{\infty} R(t)dt =\int_{0}^{\infty} R_{1}(t)dt +\int_{0}^{\infty} R_{2}(t)dt -\int_{0}^{\infty} R_{1}(t)R_{2}(t)dt \\& \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}dt = \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda_{1}}dt +\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda_{2}}dt-\int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})t}dt \\& \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2}}-\frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} \end{align*}

• 이에 의거 병렬결합시스템의 MTBF_S는 다음과 같이 구한다. $$$ MTBF_{S}=\frac{1}{\lambda_{s}}=\frac{1}{\lambda_{1}}+\frac{1}{\lambda_{2}}-\frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} $$$

• 상기 식에서 $$ \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{0}$$라면 MTBF_SS 는 다음과 같이 주어짐. $$$ MTBF_{S}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\lambda_{0}} $$$

• 상기 식에서 $$ \lambda_{1}=\lambda_{2}=...=\lambda_{n}=\lambda_{0}$$인
n 개 구성부품의 병렬결합시스템의 MTBF_S는 다음식 으로 구해집니다 $$$ MTBF_{S}=\frac{1}{\lambda_{0}}+\frac{1}{2\lambda_{0}}+...++\frac{1}{n\lambda_{0}} $$$

또는, 평균수명 이라면 시스템의 MTBF_S는 다음과 같습니다. $$$ MTBF_{S}=\sum_{i=1}^n \frac{\theta_{0}}{i} $$$

• 그리고, 시스템의 고장률 $$ \lambda_{s} $$ 는 다음 식으로 구해짐. $$$ \lambda_{S}=\frac{1}{MTBF_{S}} =\frac{1}{\frac{1}{\lambda_{0}}+\frac{1}{2\lambda_{0}}+...++\frac{1}{n\lambda_{0}}} =\frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{\theta_{0}}{i}} $$$ 여기서, $$ \theta_{0} = 1 / \lambda_{0} $$ 인 경우임.

예제 6.9 다음과 같이 구성된 시스템이 있다. 전체 신뢰도 $$ R_{s}=0.85 $$로 하고자 할 때
R₅의
신뢰도는 얼마인가? 〔기사 기출〕

시스템 신뢰도 $$$ R_{s}=R_{1}\times=R_{S1}\times=R_{S2}=0.9\times0.96\times(0.7+0.3R_{5}=0.85 $$$ 이를 풀면 $$ R_{5}=0.946 $$
여기서, 신뢰도 0.8의 부품 2개로 병렬결합된 부분의 신뢰도 $$$ R_{S1}= 1-(1-0.8)^{2}=0.96 $$$ 신뢰도 R₅, 0.7의 부품 2개로 병렬결합된 부분의 신뢰도 : $$$ R_{S2}= 1-(1-R_{5})(1-0.5)=0.7+0.3 R_{5} $$$